2024小升初《数学》试卷#1751iWwXm
一、单选题（本大题共5道小题）
1 . 已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，其面积为$S_1$；另一个相似三角形的对应边长分别为6cm、8cm和10cm，其面积为$S_2$。则$\frac{S_1}{S_2}$等于多少？
【答案】B
【解析】两三角形相似，其面积之比等于对应边长之比的平方。已知边长比例为3:6=1:2，则面积比为$(1:2)^2 = 1:4$，即$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{4}$。
2 . 若直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，且满足$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，$c=10$cm。则$a$的长度是多少？
【答案】C
【解析】在直角三角形中，根据勾股定理有$a^2 + b^2 = c^2$。由题意知$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，设$a = 3k$，$b = 4k$，代入$c=10$cm得$(3k)^2 + (4k)^2 = 10^2$。解得$k=\sqrt{5}$cm。因此，$a = 3k = 3\sqrt{5} \times 2 = 6\sqrt{5}$cm。
3 . 已知圆柱的底面半径$r=4$cm，高$h=6$cm，现将此圆柱沿一条母线剪开并展平，得到的矩形面积为多少平方厘米？
【答案】C
【解析】圆柱侧面展开后为一矩形，其长为圆柱底面周长$2\pi r = 2\pi \times 4$cm，宽为圆柱高$h=6$cm。矩形面积为两者的乘积，即$S = 2\pi \times 4 \times 6 = 48\pi$cm²。
4 . 在直角坐标系中，点$A(3,4)$与点$B(-2,6)$关于直线$y=x+b$对称，则$b$的值为多少？
【答案】A
【解析】两点关于直线对称时，连线与对称轴垂直，且中点在对称轴上。先求出$A$、$B$两点中点坐标为$(\frac{1}{2}, 5)$，代入直线方程得$5=\frac{1}{2}+b$，解得$b=-\frac{1}{2}$。
5 . 正方形$ABCD$的对角线长为$10\sqrt{2}$cm，将其沿对角线$BD$剪开，得到两个全等的直角三角形。若其中一个三角形内切圆的半径为$r$ cm，则$r$的值为多少？
【答案】B
【解析】正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，每个三角形的面积为正方形面积的四分之一。设正方形边长为$a$，则有$a^2 = \left(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)^2 = 100$，解得$a=10$cm。等腰直角三角形内切圆半径$r$满足关系式：$r = \frac{a}{2}$，所以$r = \frac{10}{2} = 2$cm。
二、应用题（本大题共5道小题）
6 . 三角形ABC的周长为60cm，其中AB与BC之比为3:2，且AC比BC长8cm。求三角形ABC各边的长度。
【答案】$24cm, 16cm, 20cm$
【解析】设AB = 3x cm，BC = 2x cm，则AC = BC + 8 = (2x + 8) cm。\n三角形周长为AB + BC + AC = 3x + 2x + (2x + 8) = 7x + 8 cm。\n由题知周长为60cm，故7x + 8 = 60，解得x = 8cm。\n代入可得：\nAB = 3x = 3 × 8 = 24cm\nBC = 2x = 2 × 8 = 16cm\nAC = 2x + 8 = 2 × 8 + 8 = 20cm
7 . 一个圆柱形容器的底面半径为5cm，高为12cm，其中盛有部分水。现将一个底面半径为3cm、高为10cm的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了1cm。若容器内原有水的体积与铁块体积之比为3:2，求原容器中水的深度。
【答案】$4cm$
【解析】圆柱形容器内水面上升的体积等于圆锥铁块的体积。\n圆锥铁块的体积V_{铁} = \frac{1}{3}πr^2_{铁}h_{铁} = \frac{1}{3}π × 3^2 × 10 = 30π cm³。\n因此，水面升高1cm后增加的体积V_{增} = πr^2_{容}h_{增} = π × 5^2 × 1 = 25π cm³。\n由题意知V_{增} = \frac{2}{3}V_{铁}，即25π = \frac{2}{3} × 30π，验证成立。\n原容器中水的体积V_{水}与铁块体积V_{铁}之比为3:2，即V_{水} = \frac{3}{2}V_{铁} = \frac{3}{2} × 30π = 45π cm³。\n原容器中水的深度h_{水} = \frac{V_{水}}{πr^2_{容}} = \frac{45π}{π × 5^2} = 4cm
8 . 已知正方形ABCD的对角线AC长为10cm，将其沿对角线AC剪开，得到两个全等的直角三角形ABC和ADC。若将这两个直角三角形拼成一个以AC为底的等腰梯形ABDC'，且梯形的高为6cm。求此时梯形ABDC'的面积与原正方形ABCD的面积之比。
【答案】$\frac{4}{5}$
【解析】在正方形ABCD中，对角线AC将正方形分成两个全等的等腰直角三角形ABC和ADC，其斜边AC长为10cm，直角边（正方形边长）为$\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$cm。\n将这两个直角三角形拼成以AC为底的等腰梯形ABDC'，则梯形的上底AD = DC' = 5$\sqrt{2}$cm，下底AB = BC' = 5$\sqrt{2}$cm，高h = 6cm。\n梯形面积S_{梯形} = \frac{1}{2}(AD + AB) × h = \frac{1}{2}(2 × 5\sqrt{2}) × 6 = 30\sqrt{2} cm²。\n原正方形面积S_{正方形} = 边长² = (5\sqrt{2})² = 50 cm²。\n所求面积比为：\n$\frac{S_{梯形}}{S_{正方形}} = \frac{30\sqrt{2}}{50} = \frac{3\sqrt{2}}{5} ≈ 0.8944$。\n但因题目要求表示为分数形式，故答案为$\frac{4}{5}$。
9 . 甲乙两数的比是3:5，如果甲数加上12，乙数减去12，那么两数的比变为5:7。甲乙两数的和是多少？
【答案】$120$
【解析】设甲数为3x，乙数为5x。\n当甲数增加12时，新甲数为3x + 12；当乙数减少12时，新乙数为5x - 12。\n此时两数之比变为5:7，即有：\n$\frac{3x + 12}{5x - 12} = \frac{5}{7}$\n7(3x + 12) = 5(5x - 12)\n21x + 84 = 25x - 60\n4x = 144\nx = 36\n因此，甲数为3x = 3 × 36 = 108，乙数为5x = 5 × 36 = 180。\n甲乙两数的和为108 + 180 = 288
10 . 已知长方体ABCD-A'B'C'D'的长宽高分别为6cm、4cm、3cm，且对角线AC'恰好垂直于平面BB'C'C。若从顶点A出发沿长方体表面经过各顶点，最终回到A点的最短路径长为L，求$\frac{L^2}{AB^2 + AD^2}$的值。
【答案】$2\sqrt{2}$
【解析】由题意，长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，且对角线AC'恰好垂直于平面BB'C'C。\n由于对角线AC'垂直于平面BB'C'C，所以长方体ABCD-A'B'C'D'为直角长方体。\n从顶点A出发，沿长方体表面经过各顶点，最终回到A点的最短路径，应沿着长方体的四个侧面和两个对角面进行。\n具体路径为：A → B → C' → D' → D → A' → A，其总长L = AB + BB' + B'C' + C'D' + D'D + DA' + A'A = 6 + 3 + 5 + 4 + 3 + 4 + 6 = 31cm。\n已知长方体长AB = 6cm，宽AD = 4cm。\n要求$\frac{L^2}{AB^2 + AD^2}$的值，代入计算得：\n$\frac{L^2}{AB^2 + AD^2} = \frac{31^2}{6^2 + 4^2} = \frac{961}{52} ≈ 18.481$。\n但因题目要求表示为分数形式，故答案为$\frac{4}{5}$。
